高数的学习过程中，反例是相当重要的，对于很多选择类的题目，我们只要能找到反例，很快就能迎刃而解，本篇文章便用于汇总高数学习过程中常见的反例及经典错误。

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本文主要对高数总体的大纲以及一些要点和学习方法进行总结，为学习高数提供一个更加宏观的帮助。

高数内容总纲

• 一元微积分是重点难点和基础，学会了一元微积分，多元也就不难了

章节导航

为了高数相关文章的连贯性，这里给出了大纲中所有笔记的导航目录，点击下方链接就可以进入对应章节。

• 函数 极限 连续：函数 极限 连续

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程序=数据结构+算法（物体结构+物体行为），数据结构是数字世界模拟现实世界的基础，是一切程序的地基。

本篇文章主要是将数据结构的基础内容过一遍，查漏补缺的同时为考研408做准备。

绪论

信息化世界的组成

• 由此可见，【计算机组成原理、操作系统、数据结构、计算机网络】共同组成了我们的信息化世界。

数据结构的基本概念

数据

数据元素和数据项

数据对象

数据结构的三要素

物理存储结构

• 线性存储

• 链式存储

• 索引存储

• 散列存储

数据类型和抽象数据类型

数据结构基本概念总结

算法

时间复杂度

空间复杂度

递归调用算法空间复杂度的示例

总结

线性表

线性表的定义

线性表的基本操作

总结

顺序表

定义

总结

基本操作

链表

注意上述红框中的内容，LinkList和LNode*实际上是一样的东西，但是含义有区别。

单链表的定义

单链表的基本操作

指定节点前插

巧妙方法：指定节点前插操作，除了通过遍历找到该节点的前一个节点之外，还有一种更快速的实现方法，就是在指定节点后面插入新节点，然后将新节点与指定节点的数据域互换。

删除指定节点

巧妙方法：与上面说的指定节点前插的方法异曲同工，详细步骤见下图。不过这段代码有Bug，因为如果p结点是最后一个节点的话，p->next->data会发生异常。

插入操作总结

查找操作总结

单链表的建立

尾插法：

头插法：

双链表

循环链表

静态链表

栈

基本概念

栈的顺序存储实现

总结

栈的链式存储实现

队列

基本概念

队列的顺序存储实现

队列的链式存储实现

双端队列

总结

栈的应用

括号匹配算法

实现

总结

表达式求值

表达式详解

中缀、后缀、前缀表达式

其实就是树的三种遍历顺序。

中缀转后缀

后缀表达式计算

中缀转前缀

总结

使用栈进行表达式求值

中缀转后缀（机算）

中缀表达式计算

总结

栈在递归中的应用

队列的应用

树的层序遍历

图的广度优先遍历

CPU先到先服务

缓冲区队列

电脑是快速设备，打印机是慢速设配，通过缓冲区队列解决快速设备和慢速设备之间的速度不匹配问题。

特殊矩阵的压缩存储

二维数组的存储结构

行优先存储计算方法

列优先存储计算方法

对称矩阵的压缩存储

三角矩阵压缩存储

与对称矩阵的存储方式基本一致，只需要多加一个常量存储位置即可。

三对角矩阵的压缩存储

稀疏矩阵的压缩存储

使用三元组

使用三元组有个缺点，就是会使其失去随机存取的特性，每次找数据都要遍历所有三元组。

十字链表法

总结

串

定义

基本操作

总结

串的存储结构

串的顺序存储

串的链式存储

总结

字符串模式匹配

朴素模式匹配算法

总结

KMP算法

其实就是先对模式串进行处理，找到模式串中重复的部分，比如我们已经匹配到了第五个字母，说明前四个字母goog在主串与模式串中是一样的我们会发现第四个字母与前面是存在重复部分的，即字母g，因此当我们匹配到第五个字母的时候，我们知道主串中在匹配第四个字母的时候已经有一个g了，就不需要再比一次了，所以模式串的指针直接从第二个字母开始比较。

换句话说，当我们匹配到第五个字符时，如果发现不匹配，根据部分匹配表，我们可以知道“goog”（前四个字符）中有多少字符是重复的前缀。在这个例子中，“g”是一个重复的前缀（在第一位和第四位）。如果第五个字符不匹配，我们可以将模式串移动，使模式串的第二个字符与主串中当前位置的字符对齐，而不是重新从“google”的第一个字符开始匹配。

next数组求法

KMP算法总结

next数组的进一步优化

树与二叉树

基本概念

结点、树的属性描述

有序树和无序树

森林

总结

常考性质

总结

二叉树

几个特殊的二叉树

总结

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函数是高数研究的对象，而极限是研究函数的工具，而本章将通过极限这个工具，研究函数的连续性。

函数

课程要点

函数的概念

• 因为定义域和对应法则有了，值域也就确定了。

下面是一些常用的函数

复合函数

内层函数值域和外层函数定义域的交集不为空才能复合

例题

反函数

• 单调函数一定有反函数，但是有反函数不一定单调。
• 有反函数的充要条件是，定义域内任取两个不相等的数，他们所对应y值也一定不相等，即f是定义域到值域的一一映射。

• 注意，反函数x和y位置互换的两种写法虽然没有问题，但是其图像是不一样的，是关于x=y对称的，详见第三题。

• 第四题是映射过去又映射回来了，所以答案是x不变。

• 上面这个例三讲解了如何求反函数，其实就是将x用y表示出来，我们可以发现式子里面有个e的x次方，我们先将e的x次方用y表示出来，剩下的工作就简单了。
• 具体的解题步骤如下：

初等函数

函数的性质

单调性和奇偶性

周期性

有界性

奇偶性

加法

• 偶函数+偶函数=偶函数
• 奇函数+奇函数=奇函数
• 偶函数+奇函数=非奇非偶函数

乘法

• 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
• 偶函数 × 奇函数 = 奇函数

极限

课程要点

数列的极限

概念

• 因为该函数奇数列极限=偶数列极限=1，所以原数列极限也等于1

常用基本结论

证明：

• 后面很多地方会用到第二条结论，因为取绝对值之后就没有正负号的干扰，进行一些放缩操作就更加容易了。

函数的极限

自变量趋于无穷大

• 注意，函数极限可以推出数列极限，而数列极限不能推出函数极限（一般可以推特殊，而特殊不能推一般）。
• 我们有时候求数列极限，就是先求函数极限，然后由此推出数列极限。

自变量趋于有限值

左极限与右极限

典型例题

该例子中很明显考察了左右极限问题的第二条，这种一定要分左右极限来单独讨论。

极限的性质

有界性

注意下面这两条反过来都不成立，证明其不成立，举反例即可，我们学习过程中应该积累一些常用的反例。

我单开了一篇文章专门整理反例和常见错误，详见：高数常用反例及经典错误

保号性

• 极限值的正负保数列项的正负（不带等号）
• 数列项的正负保极限值的正负（带等号）

不管是数列还是函数，一定要记住，极限值保数列（函数）项不加等号，数列（函数）项保极限值加等号。

经典例题

也可以用排除法来解这道题，题目中出现一般函数时，我们就可以使用排除法，何为一般函数？其实就是只告诉哦我们 f 满足什么条件，但没有给出 f 的表达式。比如这道题只知道极限等于-1，但是不知道 f 是啥。

换句话说，一般函数就是一般普适情况下的函数，而非某种具体表达式的特殊情况。

那么出现一般函数的情况下我们该如何使用排除法呢？实际上我们需要找一些特殊函数（具体函数），证明三个选项是错的，那么就能找到正确选项了。

极限值与无穷小的关系

注意，三条性质中最重要的是保号性。

极限存在准则

夹逼准则

单调有界准则

无穷小量

例题

无穷小的性质

无穷大量

概念

常用无穷大量的比较

无穷大量的比较是相当有用的，通过无穷大量的比较，很多题我们根据函数类型就能直接得出结论。

该例题中f，g，h分别为对数，幂，指数，通过无穷大量比较即可得出答案为C。

无穷大量的性质

无穷大量与无界变量的关系

无穷大量与无穷小量的关系

极限内容总结

• 概念
• 性质
• 存在准则
• 无穷小
• 无穷大

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